Memasangkan nama siswa dengan nomor absen, atau dengan hobinya, adalah contoh relasi dalam kehidupan sehari-hari. Dalam relasi dan fungsi matematika, kegiatan memasangkan itu diberi aturan yang jelas. Setelah memahami penjelasan berikut, perbedaan relasi dan fungsi, syaratnya, serta cara mengerjakan soalnya akan terlihat jelas.
Pengertian Relasi dalam Matematika
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota A dengan anggota B. Himpunan A disebut domain atau daerah asal, sedangkan himpunan B disebut kodomain atau daerah kawan. Satu anggota A boleh dipasangkan dengan lebih dari satu anggota B, dan boleh juga tidak dipasangkan sama sekali.
Contohnya, A = {Ani, Budi, Citra} dan B = {membaca, menggambar, olahraga}. Relasi ‘hobi dari’ dapat berupa Ani dengan membaca, Budi dengan menggambar dan olahraga, serta Citra dengan membaca. Budi punya dua pasangan, dan itu diperbolehkan pada relasi.
Tiga Cara Menyajikan Relasi
Relasi dapat disajikan dengan tiga cara. Pertama, diagram panah, yaitu dua lingkaran himpunan yang anggotanya dihubungkan garis berkepala panah dari A ke B. Kedua, himpunan pasangan berurutan, misalnya {(Ani, membaca), (Budi, menggambar)}. Ketiga, diagram Cartesius, yaitu titik-titik pada bidang koordinat dengan anggota A di sumbu mendatar dan anggota B di sumbu tegak.
Pengertian Fungsi dan Syaratnya
Fungsi adalah relasi khusus. Relasi dari A ke B disebut fungsi jika setiap anggota A mempunyai pasangan, dan pasangannya tepat satu anggota B. Jadi tidak boleh ada anggota A yang tidak berpasangan, dan tidak boleh ada anggota A yang berpasangan dengan dua anggota B atau lebih.
Aturan ketat ini hanya berlaku untuk anggota A. Anggota B boleh tidak mempunyai pasangan, boleh juga berpasangan dengan beberapa anggota A. Fungsi biasanya diberi nama f dan ditulis f(x) = y, artinya x dipasangkan dengan y, dan y disebut bayangan dari x.
Domain, Kodomain, dan Range
Domain adalah himpunan semua anggota A. Kodomain adalah himpunan B. Range atau daerah hasil adalah anggota kodomain yang benar-benar menjadi pasangan. Range selalu termasuk bagian dari kodomain, tetapi tidak selalu sama dengan kodomain.
Contoh Soal Relasi dan Fungsi Matematika
Soal 1: diketahui A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, dan relasi ‘dua kali dari’. Tentukan apakah relasi ini fungsi, lalu sebutkan domain, kodomain, dan range-nya.
Pasangannya adalah (1, 2), (2, 4), dan (3, 6). Angka 1, 2, dan 3 masing-masing mempunyai tepat satu pasangan, jadi relasi ini adalah fungsi. Domainnya {1, 2, 3}, kodomainnya {2, 4, 6, 8}, dan rangenya {2, 4, 6}. Angka 8 tetap anggota kodomain meskipun tidak punya pasangan.
Soal 2: relasi R = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, c)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c}. Apakah R fungsi? Bukan, karena angka 1 berpasangan dengan dua anggota, yaitu a dan b. Perhatikan bahwa c dipasangkan dengan 2 dan 3, dan hal itu tidak melanggar syarat fungsi.
Soal 3: fungsi f(x) = 3x – 2 dengan domain {-1, 0, 1, 2}. Tentukan range-nya. Hitung satu per satu: f(-1) = 3(-1) – 2 = -5, f(0) = 3(0) – 2 = -2, f(1) = 3(1) – 2 = 1, dan f(2) = 3(2) – 2 = 4. Jadi range-nya adalah {-5, -2, 1, 4}.
Uji Garis Tegak pada Grafik
Untuk grafik, tarik garis tegak di sembarang titik pada domain. Jika garis itu selalu memotong grafik di satu titik saja, grafik tersebut adalah fungsi. Jika ada garis tegak yang memotong di dua titik atau lebih, grafik tersebut bukan fungsi.
Apa perbedaan relasi dan fungsi?
Relasi hanya memasangkan anggota dua himpunan tanpa batasan jumlah pasangan. Fungsi adalah relasi yang memasangkan setiap anggota domain dengan tepat satu anggota kodomain.
Apakah setiap relasi adalah fungsi?
Tidak. Setiap fungsi adalah relasi, tetapi hanya relasi yang memenuhi syarat fungsi yang boleh disebut fungsi.
Kesimpulan
Periksa dahulu apakah ada anggota domain yang tidak berpasangan atau berpasangan ganda, baru tentukan domain, kodomain, dan rangenya. Urutan pemeriksaan ini membuat soal tentang relasi dan fungsi matematika lebih mudah dikerjakan dengan teliti.
