Melepas sepatu adalah kebalikan dari memakai sepatu: satu langkah membatalkan langkah lainnya. Fungsi invers bekerja dengan prinsip yang sama. Jika f mengubah x menjadi y, maka fungsi invers mengubah y kembali menjadi x. Syarat, cara mencari, dan contoh soalnya dibahas di bawah ini.
Pengertian Fungsi Invers
Invers dari fungsi f ditulis f⁻¹ dan dibaca ‘f invers’. Jika f(a) = b, maka f⁻¹(b) = a. Artinya f⁻¹ mengembalikan hasil f ke nilai awalnya, dan sebaliknya f mengembalikan hasil f⁻¹ ke nilai awalnya.
Pangkat -1 pada f⁻¹ adalah lambang invers, bukan pangkat biasa. Jadi f⁻¹(x) tidak sama dengan 1÷(f(x)). Hubungan fungsi dengan inversnya juga bisa ditulis sebagai komposisi: (f ∘ f⁻¹)(x) = x dan (f⁻¹ ∘ f)(x) = x.
Syarat Fungsi Memiliki Invers
Sebuah fungsi mempunyai invers jika fungsi tersebut berkorespondensi satu-satu, yaitu setiap anggota daerah hasil berpasangan dengan tepat satu anggota domain. Contohnya f(x) = x² dengan domain semua bilangan real tidak punya invers, karena f(2) = 4 dan f(-2) = 4. Untuk hasil 4, invers tidak bisa menentukan harus kembali ke 2 atau ke -2.
Jika domainnya dibatasi menjadi x ≥ 0, setiap hasil hanya berasal dari satu nilai x, sehingga inversnya dapat ditentukan.
Cara Mencari Fungsi Invers
- Tulis y = f(x).
- Ubah persamaan itu sehingga x berdiri sendiri di satu ruas dan dinyatakan dalam y.
- Hasilnya adalah rumus f⁻¹(y). Ganti huruf y dengan x untuk mendapatkan f⁻¹(x).
Contoh Soal Fungsi Invers
Soal 1: tentukan invers dari f(x) = 2x + 6. Tulis y = 2x + 6. Pindahkan 6 ke ruas kiri sehingga y – 6 = 2x, lalu bagi kedua ruas dengan 2 sehingga x = ((y – 6)) ÷ 2. Ganti y dengan x, maka f⁻¹(x) = ((x – 6)) ÷ 2.
Periksa dengan satu nilai: f(4) = 2(4) + 6 = 14, dan f⁻¹(14) = ((14 – 6)) ÷ 2 = 4. Hasilnya kembali ke 4, jadi rumus tersebut benar.
Soal 2: tentukan invers dari f(x) = ((x + 1)) ÷ ((x – 2)) dengan x ≠ 2. Tulis y = ((x + 1)) ÷ ((x – 2)), lalu kalikan kedua ruas dengan (x – 2) sehingga y(x – 2) = x + 1.
Jabarkan menjadi yx – 2y = x + 1. Kumpulkan suku x di satu ruas: yx – x = 2y + 1, lalu faktorkan menjadi x(y – 1) = 2y + 1. Maka x = ((2y + 1)) ÷ ((y – 1)), sehingga f⁻¹(x) = ((2x + 1)) ÷ ((x – 1)) dengan x ≠ 1.
Soal 3: jika f(x) = 3x – 5, tentukan f⁻¹(7). Cukup cari x yang membuat f(x) = 7, yaitu 3x – 5 = 7, sehingga 3x = 12 dan x = 4. Jadi f⁻¹(7) = 4.
Rumus Cepat Fungsi Invers
Setelah memahami langkah di atas, rumus cepat bisa dipakai untuk memeriksa jawaban. Untuk f(x) = ax + b, inversnya f⁻¹(x) = ((x – b)) ÷ a. Untuk f(x) = ((ax + b)) ÷ ((cx + d)), inversnya f⁻¹(x) = ((-dx + b)) ÷ ((cx – a)).
Pada Soal 2, a = 1, b = 1, c = 1, dan d = -2, sehingga inversnya ((2x + 1)) ÷ ((x – 1)), sama dengan hasil penurunan langkah demi langkah tadi.
Apakah f⁻¹(x) sama dengan 1 ÷ (f(x))?
Tidak. f⁻¹(x) adalah fungsi yang mengembalikan hasil f ke nilai awal, sedangkan 1 ÷ (f(x)) adalah kebalikan dari nilai f(x).
Apakah semua fungsi punya invers?
Tidak. Hanya fungsi yang berkorespondensi satu-satu yang punya invers.
Kesimpulan
Fungsi invers membalik kerja fungsi aslinya. Pastikan fungsinya berkorespondensi satu-satu, nyatakan x dalam y, lalu ganti y dengan x. Periksa hasilnya dengan satu nilai, dan fungsi invers akan terasa jauh lebih mudah.
