20 Contoh Soal Relasi dan Fungsi serta Fungsi Komposisi + Pembahasan

Jawaban: D. 64
Pembahasan sederhana: Bayangkan 3 siswa (anggota A) memilih satu dari 4 jenis minuman (anggota B). Setiap siswa BEBAS memilih, dan tiap siswa harus memilih tepat satu minuman.
Rumus: banyak fungsi dari A ke B = n(B)^n(A)
Siswa 1 punya 4 pilihan, siswa 2 punya 4 pilihan, siswa 3 punya 4 pilihan.
Banyak fungsi = 4 × 4 × 4 = 4³ = 64.
Hati-hati: 3⁴ = 81 itu kebalikannya (kesalahan yang sering terjadi).

Jawaban: C. {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a)}
Pembahasan sederhana: Syarat fungsi dari A ke B: (1) SETIAP anggota A punya pasangan, dan (2) pasangannya TEPAT SATU di B.

1. Anggota 2 punya dua pasangan (b dan c). Bukan fungsi.
2. Anggota 4 tidak punya pasangan. Bukan fungsi.
3. Semua anggota A (1, 2, 3, 4) punya tepat satu pasangan. Boleh banyak anggota A yang berpasangan dengan a, itu tetap fungsi (fungsi konstan). FUNGSI.
4. Anggota 1 punya dua pasangan (a dan b). Bukan fungsi.
5. Anggota 1 tidak punya pasangan. Bukan fungsi.

Jadi yang benar adalah C.

Jawaban: B. 12
Pembahasan sederhana: Fungsi itu seperti mesin. Kita masukkan angka, mesin mengalikan 2 lalu menambah 3.
f(5) = 2(5) + 3 = 10 + 3 = 13
f(-2) = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1
f(5) + f(-2) = 13 + (-1) = 12.

Jawaban: C. 8
Pembahasan sederhana: Kita cek satu per satu anggota A, mana saja anggota B yang habis dibagi olehnya.
– 2 faktor dari 4, 6, 8, 10 → ada 4 pasangan
– 3 faktor dari 6 saja → ada 1 pasangan
– 4 faktor dari 4 dan 8 → ada 2 pasangan
– 5 faktor dari 10 saja → ada 1 pasangan
Banyak anggota relasi = 4 + 1 + 2 + 1 = 8.

Jawaban: B. {x | x ≥ 3}
Pembahasan sederhana: Akar kuadrat dari bilangan NEGATIF tidak ada di bilangan real, jadi isi di dalam akar harus NOL atau POSITIF.
Syarat: x – 3 ≥ 0
x ≥ 3
Perhatikan tanda “sama dengan”: untuk x = 3, √0 = 0 masih ada nilainya, jadi 3 ikut masuk domain.

Jawaban: A. 3x + 2
Pembahasan sederhana: Bayangkan dua mesin berjajar. (f ∘ g)(x) artinya x masuk mesin g DULU, hasilnya baru masuk mesin f.
Rumus: (f ∘ g)(x) = f(g(x))
g(x) = 3x
f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2.
Catatan: 3x + 6 adalah hasil (g ∘ f)(x), yaitu urutannya terbalik.

Jawaban: B. 12
Pembahasan sederhana: (g ∘ f)(2) artinya angka 2 masuk ke f dulu, hasilnya masuk ke g.
Rumus: (g ∘ f)(2) = g(f(2))
f(2) = 2(2) – 1 = 3
g(3) = 3² + 3 = 9 + 3 = 12
Jadi (g ∘ f)(2) = 12.
Kalau urutannya terbalik, (f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(7) = 13 (itu pengecoh C).

Jawaban: A. x² – 1
Pembahasan sederhana: Kita ganti setiap “x” di g dengan f(x) = x + 1.
Rumus: (g ∘ f)(x) = g(f(x))
g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)² – 2(x + 1)
= (x² + 2x + 1) – 2x – 2
= x² + 2x – 2x + 1 – 2
= x² – 1.

Jawaban: A. (3x+1)(x-2)
Pembahasan sederhana: Mencari invers itu seperti memutar mesin ke arah sebaliknya: kita ubah posisi x dan y, lalu cari y.
Misalkan y = (2x+1)(x-3)
Kali silang: y(x – 3) = 2x + 1
xy – 3y = 2x + 1
xy – 2x = 3y + 1
x(y – 2) = 3y + 1
x = (3y+1)(y-2)
Ganti y dengan x, maka f⁻¹(x) = (3x+1)(x-2).
Cara cepat untuk f(x) = (ax+b)(cx+d) adalah f⁻¹(x) = (-dx+b)(cx-a) = (3x+1)(x-2). Hasilnya sama.

Jawaban: A. 3x – 4
Pembahasan sederhana: Ingat bahwa (f ∘ g)(x) = f(g(x)), jadi g(x) “masuk” ke dalam f.
f(g(x)) = 2·g(x) + 3
Diketahui f(g(x)) = 6x – 5, sehingga:
2·g(x) + 3 = 6x – 5
2·g(x) = 6x – 8
g(x) = 3x – 4
Hati-hati: jangan lupa membagi dengan 2 (jika lupa, kamu akan memilih 6x – 8).

Jawaban: A. 4x + 3
Pembahasan sederhana: Sekarang f yang “masuk” ke dalam g.
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = 3·f(x) – 2
Diketahui g(f(x)) = 12x + 7, sehingga:
3·f(x) – 2 = 12x + 7
3·f(x) = 12x + 9
f(x) = 4x + 3
Cek: g(f(x)) = 3(4x + 3) – 2 = 12x + 9 – 2 = 12x + 7 (cocok).

Jawaban: A. -2 dan -1
Pembahasan sederhana: Pertama, kita susun dulu fungsi komposisinya.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 3) = (2x + 3)² – 1
Syarat (f ∘ g)(x) = 0:
(2x + 3)² – 1 = 0
(2x + 3)² = 1
2x + 3 = 1 ATAU 2x + 3 = -1
2x = -2 → x = -1
2x = -4 → x = -2
Jadi x = -2 dan x = -1.

Jawaban: C. -4
Pembahasan sederhana: Kita cari dulu “resep” fungsinya, yaitu nilai a dan b.
f(1) = a + b = 5 … (i)
f(3) = 3a + b = 11 … (ii)
Kurangkan (ii) dengan (i): 2a = 6, maka a = 3.
Dari (i): 3 + b = 5, maka b = 2.
Jadi f(x) = 3x + 2.
f(-2) = 3(-2) + 2 = -6 + 2 = -4.

Jawaban: A. {-1, 0, 3, 8}
Pembahasan sederhana: Daerah hasil adalah kumpulan semua hasil yang keluar dari mesin f. Masukkan satu per satu anggota domain.
f(1) = 1² – 2(1) = 1 – 2 = -1
f(2) = 2² – 2(2) = 4 – 4 = 0
f(3) = 3² – 2(3) = 9 – 6 = 3
f(4) = 4² – 2(4) = 16 – 8 = 8
Jadi daerah hasilnya {-1, 0, 3, 8}.

Jawaban: A. 19
Pembahasan sederhana: Komposisi tiga fungsi dikerjakan dari yang PALING DALAM (paling kanan) ke luar.
Rumus: (f ∘ g ∘ h)(3) = f(g(h(3)))
h(3) = 3² = 9
g(9) = 2 × 9 = 18
f(18) = 18 + 1 = 19
Jadi (f ∘ g ∘ h)(3) = 19.
Pengecoh lain berasal dari urutan yang salah, misalnya f(h(g(3))) = 37 dan (h ∘ g ∘ f)(3) = 64.

Jawaban: D. 3
Pembahasan sederhana: Bayangkan angka 3 masuk mesin g dulu, hasilnya baru masuk mesin f.
Rumus: (f ∘ g)(3) = f(g(3))
g(3) = 2(3) + 1 = 7
f(7) = 7 – 4 = 3
Jadi (f ∘ g)(3) = 3.
Pengecoh: -1 adalah hasil (g ∘ f)(3) (urutan terbalik), 7 adalah g(3) saja (lupa lanjut ke f), dan 6 adalah hasil menjumlahkan f(3) + g(3).

Jawaban: C. 2x + 5
Pembahasan sederhana: (g ∘ f)(x) artinya x masuk ke mesin f dulu (dikali 2), lalu hasilnya masuk ke mesin g (ditambah 5).
Rumus: (g ∘ f)(x) = g(f(x))
f(x) = 2x
g(f(x)) = g(2x) = 2x + 5.
Catatan: 2x + 10 adalah hasil (f ∘ g)(x), yaitu urutannya terbalik.

Jawaban: E. 4
Pembahasan sederhana: Angka 5 masuk ke g dulu (dikurangi 3), lalu hasilnya masuk ke f (dikuadratkan).
Rumus: (f ∘ g)(5) = f(g(5))
g(5) = 5 – 3 = 2
f(2) = 2² = 4
Jadi (f ∘ g)(5) = 4.
Pengecoh: 22 adalah hasil (g ∘ f)(5) = 25 – 3 (urutan terbalik), 25 adalah f(5) saja, dan 2 adalah g(5) saja (lupa lanjut ke f).

Jawaban: B. Rp110.000
Pembahasan sederhana: Bayangkan kasir menghitung dua tahap: diskon dulu, baru voucher. Itu persis bentuk g(f(x)).
Rumus: (g ∘ f)(150.000) = g(f(150.000))
f(150.000) = 0,8 × 150.000 = 120.000
g(120.000) = 120.000 – 10.000 = 110.000
Jadi harga yang dibayar Rp110.000.
Kalau urutannya dibalik (voucher dulu, baru diskon), hasilnya 0,8 × 140.000 = Rp112.000 (pengecoh C). Jadi URUTAN berpengaruh pada hasil komposisi.

Jawaban: B. 3
Pembahasan sederhana: Pertama, susun dulu (g ∘ f)(a), lalu samakan dengan 11.
Rumus: (g ∘ f)(a) = g(f(a))
f(a) = 3a
g(f(a)) = g(3a) = 3a + 2
Diketahui hasilnya 11, sehingga:
3a + 2 = 11
3a = 9
a = 3
Cek: f(3) = 9, lalu g(9) = 11 (cocok).
Pengecoh: 9 muncul kalau lupa membagi dengan 3 di langkah terakhir.