Bentuk soal seperti (g ∘ f)(2) mana yang dihitung lebih dulu f atau g? Jawabannya f, karena fungsi yang paling dekat dengan x dikerjakan pertama. Inilah inti fungsi komposisi, yaitu dua fungsi dikerjakan berurutan dan hasil fungsi pertama menjadi masukan fungsi kedua.
Pengertian Fungsi Komposisi
Bayangkan dua mesin dalam satu lini produksi. Mesin pertama mengolah bahan mentah, lalu hasilnya langsung masuk ke mesin kedua. Fungsi komposisi bekerja dengan cara yang sama. Jika f mengubah x menjadi f(x), dan g mengubah f(x) menjadi g(f(x)), maka gabungan keduanya disebut komposisi fungsi g dan f.
Rumus Fungsi Komposisi
Komposisi g dan f ditulis (g ∘ f)(x) = g(f(x)) dan dibaca ‘g bundaran f’. Fungsi f dikerjakan lebih dulu, lalu hasilnya dimasukkan ke g. Sebaliknya, (f ∘ g)(x) = f(g(x)) berarti g yang dikerjakan lebih dulu.
Komposisi g ∘ f hanya ada jika range f dan domain g beririsan, yaitu ada hasil f yang termasuk dalam daerah asal g. Nilai x yang boleh dipakai hanyalah nilai yang hasil f-nya berada di domain g, karena fungsi g tidak bisa menerima masukan di luar domainnya.
Langkah Menentukan Rumus Fungsi Komposisi
- Tentukan fungsi yang dikerjakan lebih dulu, yaitu fungsi yang berada paling kanan.
- Tulis rumus fungsi kedua, lalu ganti setiap x di dalamnya dengan seluruh rumus fungsi pertama, lengkap dengan tanda kurung.
- Jabarkan dan sederhanakan hasilnya.
Contoh Soal Fungsi Komposisi
Soal 1:
Diketahui f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² – 3.
Tentukan (g ∘ f)(x) dan (f ∘ g)(x)!
Jawaban
Untuk (g ∘ f)(x), ganti x pada g dengan 2x + 1
sehingga
g(x) = x² – 3
g(2x + 1) = (2x + 1)² – 3
g(2x + 1) = 4x² + 4x + 1 – 3
g(2x + 1) = 4x² + 4x – 2.
(g ∘ f)(x) = 4x² + 4x – 2
Untuk (f ∘ g)(x), ganti x pada f dengan x² – 3
Sehingga
f(x) = 2x + 1
f(x² – 3) = 2(x² – 3) + 1
f(x² – 3) = 2x² – 6 + 1
f(x² – 3) = 2x² – 5.
(f ∘ g)(x) = 2x² – 5
Hasilnya berbeda dari (g ∘ f)(x), sehingga urutan pengerjaan tidak boleh tertukar.
Soal 2: Dengan fungsi yang sama, hitung (g ∘ f)(2)!
Jawaban
Cara pertama: f(2) = 2(2) + 1 = 5,
lalu g(5) = 25 – 3 = 22.
Cara kedua, masukkan 2 ke (g ∘ f)(x) = 4x² + 4x – 2
sehingga (g ∘ f)(2) = 4x² + 4x – 2 = 4(2)² + 4(2) – 2
= 4(4) + 8 – 2 = 22.
Kedua cara memberi hasil yang sama.
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Komposisi fungsi umumnya tidak komutatif, artinya (g ∘ f)(x) tidak selalu sama dengan (f ∘ g)(x), seperti terlihat pada Soal 1. Komposisi bersifat asosiatif, yaitu ((f ∘ g) ∘ h)(x) = (f ∘ (g ∘ h))(x). Selain itu ada fungsi identitas I(x) = x, yang jika dikomposisikan dengan fungsi apa pun tidak mengubah fungsi tersebut.
Kesalahan Umum saat Mengerjakan Komposisi
Kesalahan paling sering adalah menukar urutan, yaitu mengerjakan g lebih dulu pada (g ∘ f)(x). Kesalahan lain adalah lupa memakai tanda kurung saat mengganti x, sehingga (2x + 1)² dijabarkan menjadi 4x² + 1 dan suku tengah 4x hilang. Tulis tanda kurung dahulu, baru jabarkan.
Apakah (g ∘ f)(x) sama dengan (f ∘ g)(x)?
Pada umumnya tidak sama. Urutan pengerjaannya berbeda, sehingga hasilnya biasanya berbeda, seperti pada contoh f(x) = 2x + 1 dan g(x) = x² – 3.
Fungsi mana yang dikerjakan lebih dulu pada (g ∘ f)(x)?
Fungsi f, karena berada paling dekat dengan x. Hasilnya kemudian dimasukkan ke fungsi g.
Kesimpulan
Kenali dahulu fungsi mana yang dikerjakan lebih dulu, gunakan tanda kurung saat mengganti x, lalu periksa hasilnya dengan memasukkan satu nilai. Kebiasaan ini membuat soal fungsi komposisi tidak lagi membingungkan.
