Logaritma sering terasa membingungkan karena notasinya tidak seperti operasi hitung biasa. Padahal, logaritma hanyalah cara lain untuk bertanya: pangkat berapa yang dibutuhkan agar sebuah bilangan menghasilkan bilangan tertentu? Dalam materi logaritma matematika, kamu akan bertemu istilah basis, numerus, dan sejumlah sifat yang dipakai untuk menyederhanakan soal. Setelah konsep dasarnya paham, sifat-sifat itu terasa masuk akal dan tidak perlu dihafal mentah-mentah. Pembahasan di bawah dimulai dari pengertian, sifat, lalu contoh soal bertahap.
Logaritma adalah kebalikan dari perpangkatan. Jika a pangkat c hasilnya b, maka logaritma b dengan basis a hasilnya c.
Bentuk umumnya ditulis sebagai berikut:
ᵃlog b = c, jika dan hanya jika aᶜ = b
Pada bentuk tersebut, a disebut basis, b disebut numerus, dan c adalah hasil logaritma. Sebagai contoh, karena 2³ = 8, maka ²log 8 = 3. Kalimat itu dibaca “logaritma 8 dengan basis 2 sama dengan 3”.
Agar logaritma terdefinisi, ada syarat yang harus dipenuhi: basis a harus lebih besar dari 0 dan tidak sama dengan 1, sedangkan numerus b harus lebih besar dari 0. Basis 1 tidak dipakai karena 1 pangkat berapa pun selalu 1, sehingga tidak bisa menghasilkan bilangan lain. Numerus harus positif karena bilangan positif yang dipangkatkan tidak pernah menghasilkan nol atau bilangan negatif.
Logaritma Basis 10 dan Logaritma Natural
Jika basis tidak ditulis, artinya basisnya 10. Misalnya log 100 = 2 karena 10² = 100. Notasi ini yang tertera pada tombol “log” di kalkulator ilmiah.
Ada juga logaritma natural yang ditulis ln, yaitu logaritma dengan basis e, dengan e kira-kira bernilai 2,718. Logaritma natural banyak dipakai di kalkulus dan ilmu terapan, sehingga kamu akan bertemu lagi dengannya di jenjang berikutnya.
Sifat-Sifat Logaritma
Sifat-sifat berikut berlaku untuk a, b, dan c bilangan positif dengan a tidak sama dengan 1. Sifat ini menjadi alat utama untuk menyelesaikan hampir semua soal logaritma.
- ᵃlog a = 1
- ᵃlog 1 = 0
- ᵃlog (b × c) = ᵃlog b + ᵃlog c
- ᵃlog (b : c) = ᵃlog b − ᵃlog c
- ᵃlog bⁿ = n × ᵃlog b
- ᵃᵐlog bⁿ = (n/m) × ᵃlog b
- ᵃlog b = ᶜlog b : ᶜlog a (perubahan basis, dengan c tidak sama dengan 1)
- ᵃlog b = 1 : ᵇlog a
- a pangkat (ᵃlog b) = b
- ᵃlog b × ᵇlog c = ᵃlog c
Sifat nomor 7 sangat berguna saat kamu harus menghitung logaritma dengan basis yang tidak ada di kalkulator. Dengan basis 10, kamu cukup menghitung log b dibagi log a.
Mengapa Perkalian Berubah Menjadi Penjumlahan
Sifat nomor 3 bukan aturan yang muncul begitu saja. Perhatikan bahwa 2³ × 2² = 2⁵, yaitu pangkat-pangkatnya dijumlahkan. Karena logaritma sama dengan pangkat, ²log 8 + ²log 4 = 3 + 2 = 5, dan itu sama dengan ²log 32.
Dengan pola pikir yang sama, pembagian bilangan berbasis sama membuat pangkatnya dikurangkan. Itulah asal sifat nomor 4.
Contoh Soal Logaritma dan Pembahasannya
Enam contoh berikut disusun dari yang paling dasar sampai yang membutuhkan beberapa sifat sekaligus.
Contoh 1: Mengubah ke Bentuk Pangkat
Hitunglah ³log 81.
Tanyakan pada diri sendiri: 3 dipangkatkan berapa agar menjadi 81? Karena 3⁴ = 81, maka ³log 81 = 4.
Contoh 2: Sifat Penjumlahan dan Pengurangan
Hitunglah ²log 48 − ²log 3.
Gunakan sifat pengurangan: ²log 48 − ²log 3 = ²log (48 : 3) = ²log 16. Karena 2⁴ = 16, hasilnya adalah 4.
Contoh 3: Basis Berpangkat
Hitunglah ⁹log 27.
Ubah 9 dan 27 menjadi bentuk pangkat dari 3, yaitu 9 = 3² dan 27 = 3³. Dengan sifat nomor 6, ⁹log 27 = ³²log 3³ = 3/2.
Contoh 4: Perubahan Basis
Hitunglah ³log 5 × ⁵log 9.
Kedua logaritma ini saling “tersambung” oleh basis dan numerus 5, sehingga sifat nomor 10 berlaku: ³log 5 × ⁵log 9 = ³log 9. Karena 3² = 9, hasilnya adalah 2.
Contoh 5: Memakai Nilai log yang Diketahui
Diketahui log 2 = 0,301 dan log 3 = 0,477. Tentukan nilai log 12.
Pecah 12 menjadi 2 × 2 × 3. Maka log 12 = log 2 + log 2 + log 3 = 0,301 + 0,301 + 0,477 = 1,079.
Contoh 6: Persamaan Logaritma
Tentukan nilai x yang memenuhi ²log (x + 1) = 3.
Ubah ke bentuk pangkat: x + 1 = 2³ = 8, sehingga x = 7. Periksa syarat numerus: x + 1 = 8 lebih besar dari 0, jadi x = 7 adalah jawaban yang valid.
Langkah terakhir ini sering dilupakan. Pada soal persamaan logaritma, selalu cek apakah nilai x yang kamu peroleh membuat numerus tetap positif.
Kesalahan Umum saat Mengerjakan Soal Logaritma
Kesalahan paling sering adalah menganggap ᵃlog (b + c) sama dengan ᵃlog b + ᵃlog c. Sifat penjumlahan hanya berlaku untuk perkalian di dalam logaritma, bukan penjumlahan. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan di dalam logaritma.
Kesalahan berikutnya adalah menyamakan ᵃlog b dibagi ᵃlog c dengan ᵃlog (b : c). Keduanya berbeda. Pembagian dua logaritma berbasis sama justru menghasilkan logaritma dengan basis baru, yaitu ᶜlog b.
Terakhir, banyak siswa lupa memeriksa syarat basis dan numerus pada persamaan logaritma. Akibatnya, jawaban yang sebenarnya tidak memenuhi syarat ikut dituliskan sebagai penyelesaian.
Kegunaan Logaritma dalam Kehidupan Sehari-hari
Logaritma dipakai ketika suatu besaran berubah dalam rentang yang sangat lebar. Tingkat keasaman larutan (pH) dihitung dengan logaritma dari konsentrasi ion hidrogen. Skala kekuatan gempa dan skala kebisingan suara dalam desibel juga berbentuk logaritmik.
Pada skala seperti itu, kenaikan satu satuan tidak berarti bertambah sama rata, melainkan berlipat kali. Logaritma membuat angka yang sangat besar atau sangat kecil menjadi lebih mudah dibaca dan dibandingkan.
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa yang dimaksud dengan logaritma?
Logaritma adalah operasi kebalikan dari perpangkatan. ᵃlog b = c berarti a pangkat c sama dengan b.
Berapa nilai logaritma 1?
Nilainya selalu 0 untuk basis berapa pun yang valid, karena bilangan apa pun (selain 0) yang dipangkatkan 0 hasilnya 1.
Apa perbedaan log dan ln?
Log tanpa basis berarti logaritma basis 10, sedangkan ln adalah logaritma natural dengan basis e (sekitar 2,718).
Mengapa basis logaritma tidak boleh 1?
Karena 1 pangkat berapa pun hasilnya tetap 1, sehingga tidak bisa menghasilkan numerus selain 1 dan logaritmanya tidak terdefinisi.
Kesimpulan
Logaritma pada dasarnya adalah pertanyaan tentang pangkat, dan semua sifatnya berakar dari aturan perpangkatan. Pahami dulu hubungan antara bentuk logaritma dan bentuk pangkat, lalu latih sifat-sifatnya lewat soal bertahap.
Setelah terbiasa, kamu akan lebih cepat melihat sifat mana yang cocok dipakai. Jangan lupa memeriksa syarat basis dan numerus agar jawabanmu tidak keliru.
