Kalkulator SPLTV ini digunakan untuk menentukan himpunan penyelesaian (HP) dari sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus. Masukkan koefisien dan konstanta dari setiap persamaan, lalu klik Hitung. Kalkulator menampilkan solusi beserta langkah penyelesaian dan pengecekan hasilnya, serta mengenali apakah sistem memiliki satu solusi, tidak ada solusi, atau tak hingga banyak solusi. Setelah itu, baca penjelasan di bawah supaya Anda juga bisa mengerjakannya sendiri secara manual.
Cara Menggunakan Kalkulator SPLTV
- Tulis ketiga persamaan dalam bentuk umum ax + by + cz = d, dengan konstanta berada di sisi kanan.
- Isi kolom koefisien x, koefisien y, koefisien z, dan konstanta di sebelah kanan tanda sama dengan untuk setiap persamaan. Angka negatif dan desimal boleh dipakai, begitu juga angka ribuan seperti 17000 atau 17.000.
- Klik Hitung. Nilai x, y, dan z muncul di bawah kalkulator. Klik Lihat langkah penyelesaian untuk membuka perhitungan determinannya.
- Klik Reset untuk memulai soal baru.
Tips: jika ada suku yang tidak muncul di soal, isi koefisiennya dengan 0. Misalnya x + z = 5 ditulis sebagai 1x + 0y + 1z = 5.
Apa Itu SPLTV?
SPLTV (Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel) adalah tiga persamaan linear yang memuat tiga variabel yang sama, biasanya x, y, dan z, dan harus dipenuhi sekaligus. Bentuk umumnya:
- a1x + b1y + c1z = d1
- a2x + b2y + c2z = d2
- a3x + b3y + c3z = d3
Solusi SPLTV adalah tripel nilai (x, y, z) yang benar untuk ketiga persamaan. Kumpulan tripel tersebut disebut himpunan penyelesaian (HP). Secara geometri, setiap persamaan adalah sebuah bidang datar di ruang tiga dimensi, dan solusinya adalah titik tempat ketiga bidang bertemu.
Cara Menyelesaikan SPLTV Secara Manual
Metode yang paling umum diajarkan di sekolah adalah eliminasi, substitusi, dan gabungan keduanya. Di luar itu ada aturan Cramer yang dipakai kalkulator di atas.
1. Metode Eliminasi dan Substitusi (Gabungan)
Hilangkan satu variabel dari dua pasang persamaan sehingga tersisa sistem dua variabel (SPLDV), selesaikan, lalu substitusikan hasilnya.
Contoh: selesaikan x + y + z = 6, 2x + y − z = 1, dan x − y + 2z = 5.
- Jumlahkan persamaan (1) dan (2) untuk menghilangkan z: 3x + 2y = 7. Sebut persamaan (4).
- Kalikan persamaan (1) dengan 2 lalu kurangkan persamaan (3): (2x + 2y + 2z) − (x − y + 2z) = 12 − 5, maka x + 3y = 7. Sebut persamaan (5).
- Selesaikan persamaan (4) dan (5). Dari (5), x = 7 − 3y. Substitusi ke (4): 3(7 − 3y) + 2y = 7, maka 21 − 7y = 7, sehingga y = 2. Dengan demikian x = 7 − 3(2) = 1.
- Substitusi x = 1 dan y = 2 ke persamaan (1): 1 + 2 + z = 6, sehingga z = 3.
- Cek: 2(1) + 2 − 3 = 1 ✔ dan 1 − 2 + 2(3) = 5 ✔.
HP = {(1, 2, 3)}
2. Metode Substitusi
Cocok jika ada persamaan yang mudah diubah menjadi bentuk variabel = ekspresi.
Contoh: selesaikan x + y + z = 10, y − x = 1, dan z − y = 2.
- Dari persamaan kedua, y = x + 1.
- Dari persamaan ketiga, z = y + 2 = (x + 1) + 2 = x + 3.
- Substitusi ke persamaan pertama: x + (x + 1) + (x + 3) = 10, maka 3x + 4 = 10, sehingga x = 2.
- Maka y = 2 + 1 = 3 dan z = 2 + 3 = 5.
- Cek: 2 + 3 + 5 = 10 ✔.
HP = {(2, 3, 5)}
3. Aturan Cramer (Determinan)
Inilah metode yang dipakai kalkulator di atas. Tulis sistem dalam bentuk a1x + b1y + c1z = d1 dan seterusnya, lalu hitung empat determinan:
- D: determinan matriks koefisien (kolom a, b, c)
- Dx: ganti kolom a dengan kolom d
- Dy: ganti kolom b dengan kolom d
- Dz: ganti kolom c dengan kolom d
Determinan 3×3 dihitung dengan ekspansi baris pertama: D = a1(b2c3 − b3c2) − b1(a2c3 − a3c2) + c1(a2b3 − a3b2). Setelah itu x = Dx / D, y = Dy / D, dan z = Dz / D.
Untuk sistem pada contoh pertama (x + y + z = 6, 2x + y − z = 1, x − y + 2z = 5), diperoleh D = −7, Dx = −7, Dy = −14, dan Dz = −21. Maka x = −7 / −7 = 1, y = −14 / −7 = 2, dan z = −21 / −7 = 3, sama dengan hasil eliminasi.
Perbandingan Metode
| Metode | Kelebihan | Cocok untuk |
|---|---|---|
| Eliminasi dan substitusi | Paling umum dan mudah diikuti | Kebanyakan soal ujian |
| Substitusi | Singkat jika ada persamaan sederhana | Soal dengan hubungan antarvariabel yang jelas |
| Cramer | Pasti dan mudah diprogram | Kalkulator dan soal berangka rumit |
Contoh Soal Cerita SPLTV
Soal: Ani membeli 2 buku, 1 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp11.000. Budi membeli 1 buku, 3 pensil, dan 2 penghapus seharga Rp12.000. Cici membeli 3 buku, 2 pensil, dan 1 penghapus seharga Rp17.000. Berapa harga satu buku, satu pensil, dan satu penghapus?
Pembahasan: misalkan harga buku = x, pensil = y, dan penghapus = z.
- 2x + y + z = 11000 … (1)
- x + 3y + 2z = 12000 … (2)
- 3x + 2y + z = 17000 … (3)
Kurangkan (1) dari (3) untuk menghilangkan z: x + y = 6000. Selanjutnya, kurangkan (2) dengan 2 kali (1): (x + 3y + 2z) − (4x + 2y + 2z) = 12000 − 22000, maka −3x + y = −10000, sehingga y = 3x − 10000.
Substitusi ke x + y = 6000: x + 3x − 10000 = 6000, maka 4x = 16000, sehingga x = 4000. Maka y = 3(4000) − 10000 = 2000. Dari persamaan (1), z = 11000 − 2(4000) − 2000 = 1000.
Jadi, harga satu buku Rp4.000, satu pensil Rp2.000, dan satu penghapus Rp1.000. Coba masukkan angka 2, 1, 1, 11000 dan 1, 3, 2, 12000 dan 3, 2, 1, 17000 ke kalkulator untuk membuktikannya.
Tiga Kemungkinan Solusi SPLTV
Tidak semua SPLTV punya jawaban tunggal. Kalkulator ini mengenali ketiga kondisi berikut.
| Kondisi | Arti geometri | Contoh |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Tiga bidang bertemu di satu titik: satu solusi | x + y + z = 6, 2x + y − z = 1, x − y + 2z = 5 |
| D = 0, persamaan saling bertentangan | Bidang tidak punya titik temu bersama: tidak ada solusi | x + y + z = 1, x + y + z = 2, x − y = 0 |
| D = 0, persamaan saling bergantung | Bidang berimpit atau berpotongan pada satu garis: solusi tak hingga | x + y + z = 3, 2x + 2y + 2z = 6, 3x + 3y + 3z = 9 |
Perlu diingat, D = 0 belum cukup untuk menyimpulkan ada atau tidaknya solusi. Karena itu kalkulator memeriksa peringkat (rank) matriks untuk membedakan keduanya.
Kesalahan yang Sering Terjadi
- Lupa mengubah tanda saat mengurangkan persamaan, terutama jika ada angka negatif.
- Mengeliminasi variabel yang berbeda pada tiap pasangan persamaan, sehingga dua persamaan baru tidak memuat variabel yang sama.
- Hanya mengalikan satu suku saat menyamakan koefisien, padahal seluruh persamaan harus dikalikan, termasuk konstanta di kanan.
- Tidak mengecek hasil. Selalu substitusikan x, y, dan z ke ketiga persamaan.
Pertanyaan yang Sering Diajukan (FAQ)
Apa fungsi kalkulator SPLTV?
Kalkulator SPLTV mencari nilai x, y, dan z yang memenuhi tiga persamaan linear sekaligus, serta menampilkan langkah dan pengecekan hasilnya.
Metode apa yang dipakai kalkulator ini?
Kalkulator memakai aturan Cramer (determinan), yang hasilnya sama dengan metode eliminasi dan substitusi.
Bagaimana jika hasilnya tidak ada solusi atau tak hingga?
Jika D = 0, kalkulator memeriksa konsistensi persamaan lalu memberi tahu apakah sistem tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga banyak solusi.
Bisakah memasukkan angka desimal, negatif, atau ribuan?
Bisa. Angka negatif, desimal (2,5 atau 2.5), dan ribuan (17000 atau 17.000) semuanya dibaca dengan benar.
Apa bedanya SPLDV dan SPLTV?
SPLDV memiliki dua variabel dan dua persamaan, sedangkan SPLTV memiliki tiga variabel dan tiga persamaan.
Kesimpulan
Kalkulator SPLTV membantu Anda mendapatkan hasil dengan cepat, sedangkan memahami metode eliminasi, substitusi, dan determinan membuat Anda siap menghadapi soal ujian tanpa kalkulator. Simpan halaman ini, gunakan kalkulatornya untuk mengecek jawaban, dan latih lagi dengan soal-soal lain.
